Другое

Погрешность виды погрешностей округление чисел верные цифры числа

Погрешность виды погрешностей округление чисел верные цифры числа

Абсолютная погрешность


Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.

Виды погрешности измерений Причины Инструментальная погрешность Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.) Погрешность метода Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Теоретическая погрешность Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины. Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е.

говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.

Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.

Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.

измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ \Delta x = |x_{изм}-x_{ист} | $$ Например: При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы.

Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности: № 1 2 3 4 5 $m_i,г$ 98,4 99,2 98,1 100,3 98,5 $\Delta m_i, г$ 1,6 0,8 1,9 0,3 1,5 Граница абсолютной погрешности – это величина h: $ |x-x_{ист}| \le h $ Для оценки границы абсолютной погрешности на практике используются статистические методы.

Шаг 1. Проводим серию из N измерений, в каждом из которых получаем значение измеряемой величины $x_i, i = \overline{1, N}$. Шаг 2. Находим оценку истинного значения x как среднее арифметическое данной серии измерений: $$ a = x_{cp} = \frac{x_1+x_2+ \cdots +x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N x_i $$ Шаг 3.

Рассчитываем абсолютные погрешности для каждого измерения: $$ \Delta x_i = |x_i-a| $$ Шаг 4.

Находим среднее арифметическое абсолютных погрешностей: $$ \Delta x_{cp} = \frac{\Delta x_1+ \Delta x_2+ \cdots + \Delta x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N \Delta x_i $$ Шаг 5.

Определяем инструментальную погрешность при измерении как цену деления прибора (инструмента) d.

Шаг 6. Проводим оценку границы абсолютной погрешности серии измерений, выбирая большую из двух величин: $$ h = max \{d; \Delta x_{cp} \} $$ Шаг 7. Округляем и записываем результаты измерений в виде: $$ a-h \le x \le a+h или x = a \pm h $$ Значащими цифрами – называют все верные цифры числа, кроме нулей слева.

Результаты измерений записывают только значащими цифрами. Например: 0,00501 — три значащие цифры 5,0 и 1.

5,01 — три значащие цифры. 5,0100 – пять значащих цифр; такая запись означает, что величина измерена с точностью 0,0001. Внимание! Правила округления.

Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу (округление по избытку, “ceiling”). Округлять результаты измерений и вычислений нужно так, чтобы последняя значащая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и абсолютная погрешность измеряемой величины.

Например: если при расчетах по результатам серии измерений получена оценка истинного значения a=1,725, а оценка абсолютной погрешности h = 0,11, то результат записывается так: $$ a \approx 1,7; h \approx ↑0,2; 1,5 \le x \le 1,9 или x = 1,7 \pm 0,2 $$ Пример 1. При измерении температура воды оказалась в пределах от 11,55 ℃ до 11,63 ℃.

Какова абсолютная погрешность этих измерений?

По условию $11,55 \le t \le 11,63$. Получаем систему уравнений: $$ {\left\{ \begin{array}{c} a-h = 11,55 \\ a+h = 11,63 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2a = 11,55+11,63 = 23,18 \\ 2h = 11,63-11,55 = 0,08 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 11,59 \\ h = 0,04\end{array} \right.} $$ $$ t = 11,59 \pm 0,04 ℃ $$ Ответ: 0,04 ℃ Пример 2.

По результатам измерений найдите границы измеряемой величины.

Инструментальная погрешность d = 0,1.

№ 1 2 3 4 5 6 7 $x_i$ 15,3 16,4 15,3 15,8 15,7 16,2 15,9 Находим среднее арифметическое: $$ a = x_{ср} = \frac{15,3+16,4+ \cdots +15,9}{7} = 15,8 $$ Находим абсолютные погрешности: $$ \Delta x_i = |x_i-a| $$ № 1 2 3 4 5 6 7 $ \Delta x_i$ 0,5 0,6 0,5 0 0,1 0,4 0,1 Находим среднее арифметическое: $$ \Delta x_{ср} = \frac{0,5+0,6+ \cdots + 0,1}{7} \approx 0,31 \gt d $$ Выбираем большую величину: $$ h = max \{d; \Delta x_{ср} \} = max⁡ \{0,1; 0,31\} = 0,31 $$ Округляем по правилам округления по избытку: $h \approx ↑0,4$.

№ 1 2 3 4 5 6 7 $x_i$ 15,3 16,4 15,3 15,8 15,7 16,2 15,9 Находим среднее арифметическое: $$ a = x_{ср} = \frac{15,3+16,4+ \cdots +15,9}{7} = 15,8 $$ Находим абсолютные погрешности: $$ \Delta x_i = |x_i-a| $$ № 1 2 3 4 5 6 7 $ \Delta x_i$ 0,5 0,6 0,5 0 0,1 0,4 0,1 Находим среднее арифметическое: $$ \Delta x_{ср} = \frac{0,5+0,6+ \cdots + 0,1}{7} \approx 0,31 \gt d $$ Выбираем большую величину: $$ h = max \{d; \Delta x_{ср} \} = max⁡ \{0,1; 0,31\} = 0,31 $$ Округляем по правилам округления по избытку: $h \approx ↑0,4$.

Получаем: x = 15, $8 \pm 0,4$ Границы: $15,4 \le x \le 16,2$ Ответ: $15,4 \le x \le 16,2$ Пример 3*. В первой серии экспериментов было получено значение $x = a \pm 0,3$. Во второй серии экспериментов было получено более точное значение $x = 5,631 \pm 0,001$.

Найдите оценку средней a согласно полученным значениям x. Более точное значение определяет более узкий интервал для x. По условию: $$ {\left\{ \begin{array}{c} a-0,3 \le x \le a+0,3 \\ 5,630 \le x \le 5,632 \end{array} \right.} \Rightarrow a-0,3 \le 5,630 \le x \le 5,632 \le a+0,3 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a-0,3 \le 5,630 \\ 5,632 \le a+0,3 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a \le 5,930 \\ 5,332 \le a \end{array} \right.} \Rightarrow 5,332 \le a \le 5,930 $$ Т.к.

a получено в серии экспериментов с погрешностью h=0,3, следует округлить полученные границы до десятых: $$ 5,3 \le a \le 5,9 $$ Ответ: $ 5,3 \le a \le 5,9 $

Правила округления.
Обработка и представление результатов измерений.

Процедура

Откройте свой канал и используйте платформу LINCO как площадку для размещения своих видеоматериалов.

Делитесь ценной информацией и увеличивайте свою аудиторию подписчиков. Продвигайте свои услуги более эффективно. С нами Вас увидит все Лабораторное сообщество. Открытая разработка документов | LINCO Open Source Обработка и представление результатов измерений. Процедура Версия 1. 09.10.2020 Обработка и представление результатов измерений.
Процедура Версия 1. 09.10.2020 Обработка и представление результатов измерений.

Процедура Содержание 1. Назначение и область применения 1.1. Процедура устанавливает единые требования к обработке и представлению результатов измерений, полученных в лаборатории (центре). 1.2. Представление результатов измерений в лабораторных журналах и в документах, выдаваемых лабораторией, осуществляется согласно методикам измерений и данной процедуре.

1.3. Требования настоящей процедуры распространяются на всех специалистов лаборатории (центра).

2. Нормативные ссылки 2.1. СТ СЭВ 543-77 «Числа. Правила записи и округления» (настоящий стандарт является обязательным в рамках Конвенции о применении стандартов СЭВ); 2.2. ГОСТ 8.736-2011 «Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ).

Измерения прямые многократные.

Методы обработки результатов измерений. Основные положения»; 2.3. МР 18.1.04-2005 «Система контроля качества результатов анализа проб объектов окружающей среды»; 2.4. ПМГ 96-2009 «Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ). Результаты и характеристики качества измерений. Формы представления» (правила по межгосударственной стандартизации введены в действие для добровольного применения в РФ в качестве рекомендаций по метрологии РФ).

Формы представления» (правила по межгосударственной стандартизации введены в действие для добровольного применения в РФ в качестве рекомендаций по метрологии РФ). 3. Определения 3.1. Значащие цифры числа – это все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней записанной цифры справа.

При этом нули, следующие из множителя 10n, не учитываются (согласно СТ СЭВ 543-77). Примеры 1) Число 12,0 – имеет три значащие цифры; 2) Число 30 – имеет две значащие цифры; 3) Число 120 × 103 – имеет три значащие цифры; 4) Число 0,514 × 10 – имеет три значащие цифры; 5) Число 0,0056 × 10 – имеет две значащие цифры; 6) Число 0,704 – имеет три значащие цифры; 7) Число 68 – имеет две значащие цифры.

Таким образом, нули вначале числа всегда незначимы; нули в середине числа между ненулевыми цифрами значимы; нули в конце числа могут быть значимыми и незначимыми.

По количеству значащих цифр осуществляется запись приближенных чисел (согласно СТ СЭВ 543-77). Пример Следует различать числа 2,4 и 2,40.

Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых; истинное значение числа может быть, например, 2,43 и 2,38. Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли числа; истинное число может быть, например, 2,403 и 2,398, но не 2,421 и не 2,382.

3.2. Округление числа – это отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда (согласно СТ СЭВ 543-77). В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется.

В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) равна или больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Округление следует выполнять сразу до желаемого числа значащих цифр, поэтапное округление может привести к ошибкам.

Примеры 1) Если число 12,364 требуется округлить до сотых долей, после округления получаем число 12,36; если число 12,364 требуется округлить до десятых долей, после округления получаем число 12,4.

2) Если число 0,703 требуется округлить до сотых долей, получаем число 0,70; если число 0,703 требуется округлить до десятых долей, после округления получаем число 0,7. 3) Если число 0,703 требуется округлить до двух значащих цифр, после округления получаем число 0,70; если число 0,703 требуется округлить до одной значащей цифры, после округления получаем число 0,7. 4) Если число 0,429 требуется округлить до двух значащих цифр, после округления получаем число 0,43; если число 0,429 требуется округлить до одной значащей цифры, после округления получаем число 0,4.

5) Если число 8,574 требуется округлить до двух значащих цифр, после округления получаем число 8,6; если число 8,574 требуется округлить до одной значащей цифры, после округления получаем число 9. 6) Поэтапное округление результата измерения 227,46 дает на первом этапе 227,5 и на втором этапе 228, в то время как правильный результат округления 227.

3.3. Окончательный результат – это результат измерения с погрешностью, который вносится испытателями в лабораторные журналы.

Окончательный результат выдается лабораторией в протоколе испытаний. 3.4. Промежуточные результаты – это вся информация по анализу от показания приборов до окончательного результата (в том числе расчеты результатов единичных определений; расчет результата измерения как среднеарифметическое значение результатов единичных определений, полученных в условиях повторяемости; контроль повторяемости; расчет погрешности).

3.4. Промежуточные результаты – это вся информация по анализу от показания приборов до окончательного результата (в том числе расчеты результатов единичных определений; расчет результата измерения как среднеарифметическое значение результатов единичных определений, полученных в условиях повторяемости; контроль повторяемости; расчет погрешности). Промежуточные результаты заносятся испытателями в лабораторные журналы, но в протоколах испытаний не выдаются. 4. Процедура 4.1. Требования к промежуточному результату 4.1.1.

Число значащих цифр в промежуточных вычислениях при обработке результатов измерений должно быть больше, чем в окончательном результате.

4.1.2. Если значение погрешности (неопределенности) результата измерений представлено числом, содержащим две значащие цифры, то для промежуточных результатов расчета сохраняем не менее трех значащих цифр.

4.1.3. Если значение погрешности (неопределенности) результата измерений представлено числом, содержащим одну значащую цифру, то для промежуточных результатов расчета сохраняем не менее двух значащих цифр.

4.1.4. При проведении промежуточных расчетов в рукописных лабораторных журналах в числовых значениях измеряемой величины и погрешности следует оставлять столько значащих цифр, чтобы в окончательном результате не появлялась ошибка, связанная с поэтапным округлением. Примеры Промежуточные результаты Окончательные результаты 0,178 ± 0,053 0,18 ± 0,05 0,1784 ± 0,0533 0,178 ± 0,053 1,22 ± 0,18 1,2 ± 0,2 1,224 ± 0,183 1,22 ± 0,18 3,74 ± 0,748 3,7 ± 0,7 3,742 ± 0,748 3,74 ± 0,75 12,83 ± 1,28 12,8 ± 1,3 54,2 ± 5,4 54 ± 5 54,23 ± 5,42 54,2 ± 5,4 177,6 ± 33,7 178 ± 34 2357,4 ± 212,2 2357 ± 212 11624,8 ± 5812,4 11624 ± 5812 4.2. Требования к окончательному результату 4.2.1.

Числовые значения результата измерений и его погрешности (неопределенности) записываются с указанием одной и той же единицы измерения. Примеры (5,4 ± 0,5) мг/дм³; (6,1 ± 0,7) ммоль/ дм³.

4.2.2. Числовое значение результата измерений должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение его погрешности (неопределенности). Примеры Правильно Неправильно 0,043 ± 0,004 0,043 ± 0,0043 0,0428 ± 0,0043 0,0428 ± 0,004 17,0 ± 0,2 17,00 ± 0,2 или 17 ± 0,2 12,13 ± 0,17 или 12,1 ± 0,2 12,1 ± 0,17 или 12,13 ± 0,2 46,40 ± 4,64 или 46,4 ± 4,6 46,402 ± 4,64 или 46,4 ± 4,64 4.2.3.

Значение погрешности (неопределенности) результата измерений представляют числом, содержащим одну или две значащих цифры.

Если числовое значение погрешности (неопределенности) в целой части числа содержит три и более цифр, то результат и погрешность округляются до целых чисел без подсчета количества значащих цифр.

Примеры Результаты измерения 0,14 ± 0,05 0,164 ± 0,051 1,1 ± 0,1 1,18 ± 0,11 3,6 ± 0,6 3,28 ± 0,54 12,4 ± 1,2 44 ± 4 44,2 ± 4,4 168 ± 34 2357 ± 212 23684 ± 1184 4.2.4. Если заказчик требует другие формы представления результатов измерений, лаборатория оставляет за собой право учитывать эти требования. 5. Ответственность Ответственность за правильность обработки и представления результатов измерений несут специалисты лаборатории.

Приложение Представление результатов измерений на примере определения обобщенных и химических показателей в воде с учетом требований методик измерений 1. Железо общее (ГОСТ 4011-72) Округлять результат до двух значащих цифр. Примеры Окончательные результаты, мг/дм³ Промежуточные результаты, мг/дм³ 0,12 ± 0,03 0,116 ± 0,029 0,18 ± 0,04 0,178 ± 0,0445* 0,18 ± 0,05 0,183 ± 0,046 0,31 ± 0,08 0,308 ± 0,077 1,3 ± 0,3 1,26 ± 0,32 1,8 ± 0,3 1,77 ± 0,32 12 ± 2 12,4 ± 2,2 25 ± 5 25,3 ± 4,6 * — дополнительные цифры в промежуточных результатах оставлены для предотвращения ошибки в окончательных результатах при поэтапном округлении.

2. Хлориды (ПНД Ф 14.1:2:3.96-97) Численные значения результата измерений должны оканчиваться цифрой того же разряда, что и значения характеристики погрешности. 3. Фосфорсодержащие вещества (ГОСТ 18309-2014) Числовое значение результата измерений должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение характеристики погрешности, выраженное в мг/дм³ и содержащее не более двух значащих цифр. 4. Взвешенные вещества (ПНД Ф 14.1:2:3.110-97) Численные значения результата измерений должны оканчиваться цифрой того же разряда, что и значения характеристики погрешности.

5. Цветность (ГОСТ 31868-2012) В протоколе указывают метод определения цветности по настоящему стандарту, результат с указанием единиц измерения (например, градусов цветности по хром-кобальтовой шкале Cr-Co) и температуру пробы анализируемой воды. Пример Цветность — 10 градусов цветности (Cr-Co), 18 °С. При определении цветности при постоянной комнатной температуре (20 ± 5) °С в конкретной лаборатории допускается по согласованию с заказчиком не указывать в протоколе значение температуры.

6. Металлы (ПНД Ф 14.1:2:4.139-98) Примеры записи числовых значений: Диапазон, мг/дм³ Точность округления, мг/дм³ от 0,004 до 0,01 вкл. 0,0001 от 0,01 до 0,1 вкл. 0,001 от 0,1 до 1 вкл.

0,01 от 1 до 10 вкл. 0,1 свыше 10 1 7.

Алюминий (ГОСТ 18165-2014) Числовое значение результата измерений должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и абсолютное значение характеристики погрешности измерений, выраженное в мг/дм³. Абсолютное значение характеристики погрешности измерений представляют двумя значащими цифрами, если первая цифра не превышает 3. В остальных случаях оставляют одну значащую цифру.

Примеры Окончательные результаты, мг/дм³ Промежуточные результаты, мг/дм³ 0,287 ± 0,057 0,2872 ± 0,0574 0,262 ± 0,052 0,2623 ± 0,05246* 2,38 ± 0,48 2,381 ± 0,476 13,5 ± 2,7 13,47 ± 2,69 16,6 ± 3,3 16,62 ± 3,32 22 ± 4 21,8 ± 4,4 27 ± 5 27,4 ± 5,48* 38 ± 7 38,47* ± 7,7 51 ± 10 51,46* ± 10,3 * — дополнительные цифры в промежуточных результатах оставлены для предотвращения ошибок при поэтапном округлении. 8. Нефтепродукты (ПНД Ф 14.1:2:4.128-98) Примеры записи числовых значений, мг/дм³: 0,009 ± 0,005 0,08 ± 0,03 0,65 ± 0,16 3,5 ± 0,9 3,5 ± 0,9 25 ± 6 9.

Анионные поверхностно-активные вещества (ПНД Ф 14.1:2:4.158-2000) Примеры записидля питьевой воды, мг/дм³ Примеры записидля природной и сточной воды, мг/дм³ 0,028 ± 0,010 0,080 ± 0,032 0,44 ± 0,12 0,35 ± 0,11 4,8 ± 1,0 71 ± 17 10. Щелочность (МП УВК 1.19-2013) Численные значения результата количественного химического анализа должны оканчиваться цифрой того же разряда, что и численное значение характеристики погрешности.

Характеристику погрешности измерения следует выражать числом, содержащим не более двух значащих цифр. 11. Температура, прозрачность, запах (РД 52.24.496-2018) Численное значение результата измерений должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение характеристики погрешности. 12. Кальций (РД 52.24.403-2018) Численные значения результата измерений должны оканчиваться цифрой того же разряда, что и значения погрешности; последние не должны содержать более двух значащих цифр.

13. Перманганатная окисляемость (ПНД Ф 14.1:2:4.154-99) Результаты измерений округляют с точностью: Диапазон, мг/дм³ Точность округления, мг/дм³ от 0,25 до 1,0 вкл.

0,01 от 1,0 до 10 вкл. 0,1 свыше 10 1 14.

Фториды (ПНД Ф 14.1:2:4.270-2012) Результаты измерений концентрации фторид-ионов при занесении в протокол округляют с точностью: Диапазон, мг/дм³ Точность округления, мг/дм³ от 0,15 до 10 вкл. 0,01 свыше 10 0,1 15. Растворенный кислород (ПНД Ф 14.1:2:3.101-97) Численные значения результата измерений должны оканчиваться цифрой того же разряда, что и значения характеристики погрешности.

Работает с интеллектом платформы Работает с интеллектом платформы

  • Подскажите пожалуйста!

    Вопрос по сточной воде. Определяемая характеристика Аммоний-ион.Диапазон определения 0,05-4,0 мг/дм3. Наш результат 3,6±0,9. Необходимо ли выдавать результат в протоколе с учетом погрешности? Т.к. 3,6+0,9=4,5, а это вне диапазона ОА.

    Получается нам нельзя выдавать такой результат? Последнее сообщение: 25 мая 2021 в 08:12

  • Возможно Вас заинтересует Возможно Вас заинтересует Срок действия: 1 год Бонусы:

    1. библиотека материалов и документов.
    2. интерактивный личный кабинет Школы;
    3. видеоматериалы от Школы LINCO;

    Поделиться своими материалами

    1. Техническая поддержка
    2. © 2020 — 2021 LINCO

      Вычислительные методы

      Лабораторная работа №1 Методы оценки погрешностей I.

      Описание работы Тема: Методы оценки погрешностей приближенных величин. Задание 1. Округляя точные числа

      до трех значащих цифр, определить абсолютную

      и относительную

      погрешности полученных приближенных чисел. Дано:

      Найти:

      :

      — приближенное значение числа A Абсолютная погрешность:

      Относительная погрешность:

      Ответ:

      ;

      Задание 2.

      Определить абсолютную погрешность приближенных чисел

      по их относительной погрешности .

      Дано:

      Найти: : Абсолютная погрешность:

      Ответ:

      Задание 3. Решить задачу. При измерении длины с точностью до 5 м получено

      км, а при определении другой длины с точностью до 0.5 см, получено

      метров. Какое измерение по своему качеству лучше?

      Дано:

      Км,

      М,

      М,

      См Сравнить:

      и

      Решение: Итак, по 1-му измерению, результат Км =

      М с точностью до М (

      — абсолютная погрешность величины ). Тогда относительная погрешность:

      % По 2-му измерению, результат Км с точностью до См =

      М (

      — абсолютная погрешность величины ). Тогда относительная погрешность:

      % Так как

      , то измерение можно считать по качеству лучше, чем .

      Ответ: измерение по качеству лучше, чем . Задание 4. а) Определить количество верных знаков в числе

      , если известна его предельная абсолютная погрешность

      Дано:

      Найти:

      Решение: По определению, n первые значащие цифры являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда младшей цифры, считая слева направо. Абсолютная погрешность:

      , поэтому значащие цифры 8 и 4 числа 0,00842 верны в узком смысле.

      Ответ: число X имеет две верных цифры в узком смысле (8 и 4), то есть

      Б) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная относительная погрешность

      . Дано:

      % Найти: Решение: Предельная абсолютная погрешность: Только первая значащая цифра 1 числа A верна в узком смысле. Ответ: число A имеет одну верную цифру в узком смысле (1), то есть

      Задание 5.

      Найти предельные относительные погрешности, допускаемые при взятии вместо

      чисел 3.1, 3.14, 3.1416: А) считая, что у них все записанные знаки являются верными; Б) зная, что

      Провести сравнения погрешностей и сделать необходимые выводы. Дано:

      ,

      ,

      Найти:

      Решение: А) : Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность: Предельная абсолютная погрешность:

      Тогда предельная относительная погрешность:

      % : Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность: Предельная абсолютная погрешность:

      Тогда предельная относительная погрешность:

      % : Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность: Предельная абсолютная погрешность:

      Тогда предельная относительная погрешность:

      % Б) Пусть

      (прервем запись числа на 7-м знаке после запятой и считаем полученное число точным значением числа ).

      Тогда абсолютная погрешность первого представления числа :

      .

      Относительная погрешность:

      % Абсолютная погрешность второго представления числа :

      .

      Относительная погрешность:

      % Абсолютная погрешность третьего представления числа :

      %. Относительная погрешность:

      % Выводы: 1) Можно заметить, что

      , то есть

      ;

      , то есть

      ;

      , то есть

      Иными словами, для трех чисел

      их «истинная» относительная погрешность ограничена предельной относительной погрешностью, определенной из условия верности знаков чисел.

      Причем, для каждого числа две оценки отличаются меньше, чем на порядок. Значит, предположение о верности всех знаков чисел Обосновано. 2) Сравнение относительных погрешностей чисел :

      показывает, Что числа

      Перечислены В порядке увеличения точности представления числа , То есть

      точнее

      ,

      точнее .

      Ответ: а)

      б)

      Задание 6. Найти сумму приближенных чисел

      ,

      , считая в них все знаки верными, т. е. что абсолютная погрешность каждого слагаемого не превосходит половины единицы младшего разряда этого слагаемого.

      Определить абсолютную и относительную погрешности суммы.

      Дано:

      ,

      ,

      Найти:

      Решение: 1) Считаем, что в числах , , все знаки верны в узком смысле, то есть Число с наибольшей абсолютной погрешностью . 2) Остальные числа округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

      , абсолютная погрешность округления

      , абсолютная погрешность округления

      3) Сложим все эти числа, учитывая все сохраненные знаки: 4) Полученный результат округлим на один знак (формально):

      , абсолютная погрешность округления

      5) Полную абсолютную погрешность суммы будем складывать из трех компонентов: A) суммы предельных абсолютных погрешностей исходных чисел; B) абсолютной величины суммы ошибок округления слагаемых; C) заключительной погрешности округления результата.

      — абсолютная погрешность суммы.

      % — относительная погрешность суммы. Ответ:

      ;

      %.

      Задание 7. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема прямого кругового цилиндра, если значения его высоты

      и радиуса основания

      имеют все верные знаки. Дано:

      ,

      Найти:

      Решение:

      ,

      Примем

      1) Так как в числах и все числа верны, то их абсолютные погрешности: Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

      Число R округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым : , абсолютная погрешность округления (округления не требуется) 2) перемножим числа, учитывая все сохраненные знаки: 3) Полученный результат округляем, сохраняя столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в числе H, то есть 2 значащих цифры:

      ; Абсолютная погрешность округления

      4) Полную абсолютную погрешность произведения будем складывать из двух слагаемых: A) предельной абсолютной погрешности произведения до его округления; B) заключительной погрешности округления произведения.

      Абсолютную погрешность произведения до округления вычислим на основе предварительно найденной относительной погрешности произведения округленных сомножителей:

      %.

      Полная абсолютная погрешность

      Теперь перейдем к искомому объему.

      (Здесь полученный результат округляем до трех значащих цифр).

      — предельная абсолютная погрешность объема.

      % — предельная относительная погрешность объема. Ответ:

      ,

      ,

      % Задание 8. Привести пример потери точности при вычитании двух близких чисел.

      Решение: Пусть

      и

      — два близких числа; примем, что у них одинаковое число знаков после запятой. Считаем, что все знаки в числах и верны в узком смысле.

      Тогда абсолютные погрешности: Относительные погрешности:

      %

      % Так как

      , то

      Абсолютная погрешность результата:

      Относительная погрешность результата:

      % При вычитании двух близких чисел и относительная погрешность возросла на 3 порядка! Лабораторная работа №2 Метод Гаусса I.

      Описание работы Тема: Решение системы линейных неоднородных алгебраических уравнений методом Гаусса (схема единственного деления). Задание. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными с точностью искомых неизвестных до

      . Промежуточные вычисления вести с двумя запасными знаками.

      ,

      Решение: Исходные данные и все результаты вычислений запишем в таблицу 1. Прямой ход 1. Записываем коэффициенты данной системы в трех строках и четырех столбцах раздела 1 таблицы 1.

      2. Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму в столбце

      (столбец контроля), например

      . 3. Делим все числа, стоящие в первой строке, на

      и результаты

      записываем в 4-й строке раздела 1.

      4. Вычисляем

      и делаем проверку, если вычисления ведутся с 6 и более знаками после запятой, то числа

      и не должны отличаться более, чем на единицу последнего разряда: 5. По формулам

      вычисляем коэффициенты

      : Результаты записываем в первые две строки раздела: 6. Делаем проверку. Сумма элементов каждой строки

      не должна отличаться от

      более, чем на 1-2 единицы последнего разряда.

      Заметим, что

      ,

      ,

      ,

      7. Делим все элементы 1 строки раздела 2 на

      и результаты записываем в 3 строке раздела 2.

      8. Делаем проверку: 9. По формулам

      вычисляем

      : Результаты записываем в 1 строку раздела 3. 10. Делаем проверку:

      ,

      11.

      Делим все элементы 1 строки раздела 3 на

      и результаты записываем в следующей (второй) строке этого раздела.

      12. Делаем проверку: Обратный ход 1. В разделе 4 записываем единицы 2. Записываем

      .

      3. Для вычисления

      и

      используем лишь строки разделов, содержащие 1. 4. Вычислим по формуле:

      . 5. Вычислим по формуле:

      .

      6. Аналогично проводим обратный ход в контрольной системе.

      Записываем

      , вычисляем

      и

      с заменой

      и

      на

      и соответственно: Делаем обычную проверку по строкам – должно быть

      , с точностью до 1-2 единиц последнего разряда.

      Действительно: Заполним таблицу 1 результатами вычислений: Таблица 1 Раз Дел 1 1 2 3 2 2 3 3 3 4 1 1 1 1 1 Округлим полученное решение до , по требованию задачи: Окончательную проверку точности полученного системы выполним подстановкой этого в систему.

    Вам также может понравиться...